Երկրաչափության տնային աշխատանք: Վարժություն՝ 66-69

66.  Տրված է կամայական քառանկյուն՝ MNPQ-ն: Ապացուցեք,

որ`

Լուծում ՝ 

67.    Ապացուցեք, որ ցանկացած երկու` x⃗  և y⃗  տարագիծ վեկտորների համար տեղի ունի |x⃗ +y⃗ |<x⃗ +y⃗ անհավասարությունը:

Լուծում ՝

Եթե  x⃗  և y⃗  տարագիծ վեկտորները տեղադրենք  մեկը մյուսի ծայրից, ապա դրանք և դրանց գումար վեկտորը կլինեն նույն եռանկյան կողմերը: Օգտվելով եռանկյան անհավասարությունից՝

կունենանք՝  

՝  :

68.   Ապացուցեք, որ եթե A-ն, B-ն, C-ն և D-ն կամայական կետեր են, ապա AB→+BC→+CD→+DA→=0AB→+BC→+CD→+DA→=0:

Լուծում ՝ 

72.    Դիցուք` X-ը, Y-ը և Z-ը կամայական կետեր են: Ապացուցեք, որ p→=XY−→+ZX−→+YZ−→, q→=XY−→—XZ−→—YZ−→ և r→=ZY−→—XY−→ZX→ վեկտորները զրոյական են

Քանի որ մի քանի վեկտորների գումարը կախված չէ նրանց գումարման հերթականությունից, ապա p→=xy→+zx→+yz→=xy→+yz→+zx→: Իսկ վերջինը, ըստ վեկտորների գումարման բազմանկյան կանոնի՝ xy→+yz→+zx→=→xx=0→:

Մյուս վեկտորների զրոյական լինելը ցույց տալու համար բացի վերևվում նշված հատկություններից, օգտագործված նաև -AB→BA→ հատկությունից: Ստացվեց՝ q→= (xy→ -xz→)+yz→=xy→+zx→+yz→=xy→+yz→+zx→=xx→=0, r=→(zy→ — xy→) — zx=zy+→yx→+xz→=zz=0:

75. ABC եռանկյան AB և AC կողմերի միջնակետերն են M-ը և N-ը: BM−→, NC→,MN→, BN−→ վեկտորներն արտահայտեք a→=AM−→ և b→=AN−→ վեկտորների միջոցով:

Լուծում ՝ 

79.   Տրված է ABCD զուգահեռագիծը: Ապացուցեք, որ XA−→−XA→+ XC−→−XC→=XB−→−XB→+XD−→−XD→, որտեղ X-ը հարթության կամայական կետ է:

Լուծում ՝